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Sk 16k + 16
{x + (1 + k}]} + (y +
2
Sk 16k + 16
A = *T?
I
y5k* - 16k + 16y
{k -
*
5x2 + 5y2 + 26x - 12y + 370
(Ans.)
四期星 日二十月二十(一九九一)年十八國民華中( 26 )
24 3 5r or
r=]
24 - 3r5r ·
r = -12
The equations of circles are
or
(x - 3}2 + (y - 3) = 9 x2 + y2 - 6x,- 6y+9 = 0
(x-3) + (y + 12)* = 144 x2 + y2 - 6x + 24y+ 9 = 0 [7. (a) C1 - C2: 16x - 32 = 0.
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Revision Exercise 10: Coordinate - Geometry Ilf - Circle Section A
The equation of the circle is:
W.S. SO 3. The equation of bisector of A is
1. Show that the two tangents from points P(4, 2) to the circle
x2 + y2 = 10 are perpendicular to each other.
C: x2 + y2 + 2x - 4y+ 1 = 0 and having the minimum area.
AD:
3x - 4y - 19 x + 7 √3 + 42
=
-f2 + 02
2x - y + 4 = 0... (1) The equation of bisector of Cis
4x 3y - 17 x + 7
2. Find the equation of the circle which passing through the circle intersection of the Mine ̇L: 2x + y + 4 = O_and the
.CE:
√42
32
3x + y + 6 = 0 .... (1) + (2) 5x + 10 = 0
(2)
x = -2 y = 0
3. Given 3 lines, AB: 3x - 4ỷ - 19 = 0, BC: 4x + 3y 17 = 0 and CA: * + 7. = 0; Find the equation of the inscribed. circle of AABC.
4. Show that the
x2+ y2 2 touches the 100 at point (1, 1).
circle
x2 + y2 - 6x 6y
5. Find the equation
circle
of tangents from the point. (-4, 4) to the circle x2 + y2 - 6x - 6у - 7 = 0.
6. A circle touches the x-axis at point (3, 0) and is tangent to the
line 4x - 3y + 12 = 0. Find the equation of the circle.
7. The circles G1; x2+y2-6x+5 = 0 and C2i x2+y2-16x-6y+37-0 touch
each other extemally at P.
(a) Find the coordinates of P.
(b) find the equation of the common tangent at P.
Section 8
8. Given a circle C: (x-2)2 + (y - 2)2 = 2
{a} The two tangents from the arigin to C at T, and Tą, find the
coordinates of the points Ty, T2.
(b) A straight line L:y » mx cuts the circle at the points'M and
N, and meets the line TT at K. Find the coordinates of Kin
terms of m.
(c) Let |OM = t1, |ON] =
Solution
1. Let m be the slope of the tangents.
The equation is
= n
y mx 2 - 4m
機
¬時輪值
(m2 + 1}x2 + (4m + 8m2)x + 16m2
千簡歷
sub.(1) into xx + yz = 0
tzi
Show that. +
(1)
xt{ mx+2 ~ 4m)? = 10
16m 60-
A = (4m+ 8m2) - 4(m2 + 1)(16k2 - 16k -
3m2 -- 8m - 3 - 0
flthys fig.be the roots of equatian (2).
The coordinates of the centre is (-2, 0);
r =
5
| 3(-2)+4(0)19)
5
c. The required equation Is (x + 2}z.+.yz = 25. 14. Sub. (1,1) into x* + y* = 2
L.H,S. 12. 122 R.H.S,
Sub. (1, 1) into x + y2-6x-6y+ 10 = 0 L+H.S.=121 - 6(1) - 6(1) + 10 = 0 Point(1, 1) lies on these two circles.. The equation of tangent to the circle x2 + is x(1) + y{1} = 2
x+y=0
The equation of tangent to the circle x2 + y2 at paint 11, 1) is
(Ans.
2 at point(1, 1)-
1{x} + (9)(4) - 3(x + y) - 3(y + 1} + 10 = 0 x + y + 3x' - 3 3y + 6 + 10 = 0
x + y = 2
6x6y10.
The two circles have the same tangent at point (1,1); ''. They touch each other at point (1,1}. (Proved)
5. Let the equation of tangent be y - 4 m(x+4)
y = mx + 4m+4... (1)
Sub. (1) into x* + yz - 6x - 6y - 7 = 0
x2 + (mx + 4m+4)- 6x-6(mx + 4m+4)-70 (m2 + 1)x2 + 2(4m2+m-3)x+(16m2 + 8m - 15) 0 & = {4m2 + m * 3}* - (m2 + 1)(16m2 + Bm-15) = 0
12m2+7m 12 = 0
(4m 3) (3m + 4) = 0
3
or
=
4
y - 4
or
(Ans)
The equation are y4 = (x + 4)
28 = 0, 4x+3y醬.40
6. Since the circletouches the x-axis at:{3, 0}, Its centre is (3, r), radius - E
3x=
Sub, x
X, 2 2 in L:4+ y 6y. +5 6y + y (y -3)= 0 y=3
0
{Anse)
coordinates of P is (2, 3), (Ans.)
(b) The equation of tangent .is x = 2.
| 8. (a) Let the equation of tangent through the origin be y = Kx..
Sub, y Kx in. C
(x-2)2 + (Kx - 2)2 = 2
(1 + K2)x2 - 4(1 + x)x + 6 = 0
A = 16(1 + K)2 - 4(6)(1 + K* =D
From f(x
K2 - 4K + 1 = 0
K = 2+3
{(x − 2)2 + (y = 2)2 = 2
=2±√3x
+
T1 (2-13√3) 12 (23-53
(b) Equation of Tine TT2:
x + y. - 3 = 0
x + mx - 3·0
=
得
Coordinates of K is (33). (Anson)
(c) ta =
.2(1 + m)
t3
3√1+ m2
Let the coordinates of M, N be (x,... respectively
Sub.y = mx into c
(1 + m2x2-4(1 + m)x + 5 = 0
1, X2 are the roots
=
4(1 + m),
+ m2
: xq x 2 + 1 + m2
2(1 + m)
3√1 + m2
(Proved)
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product of two roots maging =
The two tangents are perpendicular to each other.
(Proved
The distance from 48, r) to the line
4(3) - 3(r) + 12 - [r] 3y+120 is
ㄓˋ
J43+
2. The required circle be:
24 - 31:
{x2 + y2+ 2x + 4y + 1) + k(2x + y + 4) = 0
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