1991-12-12 — Page 26

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Sk 16k + 16

{x + (1 + k}]} + (y +

2

Sk 16k + 16

A = *T?

I

y5k* - 16k + 16y

{k -

*

5x2 + 5y2 + 26x - 12y + 370

(Ans.)

四期星 日二十月二十(一九九一)年十八國民華中( 26 )

24 3 5r or

r=]

24 - 3r5r ·

r = -12

The equations of circles are

or

(x - 3}2 + (y - 3) = 9 x2 + y2 - 6x,- 6y+9 = 0

(x-3) + (y + 12)* = 144 x2 + y2 - 6x + 24y+ 9 = 0 [7. (a) C1 - C2: 16x - 32 = 0.

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Revision Exercise 10: Coordinate - Geometry Ilf - Circle Section A

The equation of the circle is:

W.S. SO 3. The equation of bisector of A is

1. Show that the two tangents from points P(4, 2) to the circle

x2 + y2 = 10 are perpendicular to each other.

C: x2 + y2 + 2x - 4y+ 1 = 0 and having the minimum area.

AD:

3x - 4y - 19 x + 7 √3 + 42

=

-f2 + 02

2x - y + 4 = 0... (1) The equation of bisector of Cis

4x 3y - 17 x + 7

2. Find the equation of the circle which passing through the circle intersection of the Mine ̇L: 2x + y + 4 = O_and the

.CE:

√42

32

3x + y + 6 = 0 .... (1) + (2) 5x + 10 = 0

(2)

x = -2 y = 0

3. Given 3 lines, AB: 3x - 4ỷ - 19 = 0, BC: 4x + 3y 17 = 0 and CA: * + 7. = 0; Find the equation of the inscribed. circle of AABC.

4. Show that the

x2+ y2 2 touches the 100 at point (1, 1).

circle

x2 + y2 - 6x 6y

5. Find the equation

circle

of tangents from the point. (-4, 4) to the circle x2 + y2 - 6x - 6у - 7 = 0.

6. A circle touches the x-axis at point (3, 0) and is tangent to the

line 4x - 3y + 12 = 0. Find the equation of the circle.

7. The circles G1; x2+y2-6x+5 = 0 and C2i x2+y2-16x-6y+37-0 touch

each other extemally at P.

(a) Find the coordinates of P.

(b) find the equation of the common tangent at P.

Section 8

8. Given a circle C: (x-2)2 + (y - 2)2 = 2

{a} The two tangents from the arigin to C at T, and Tą, find the

coordinates of the points Ty, T2.

(b) A straight line L:y » mx cuts the circle at the points'M and

N, and meets the line TT at K. Find the coordinates of Kin

terms of m.

(c) Let |OM = t1, |ON] =

Solution

1. Let m be the slope of the tangents.

The equation is

= n

y mx 2 - 4m

¬時輪值

(m2 + 1}x2 + (4m + 8m2)x + 16m2

千簡歷

sub.(1) into xx + yz = 0

tzi

Show that. +

(1)

xt{ mx+2 ~ 4m)? = 10

16m 60-

A = (4m+ 8m2) - 4(m2 + 1)(16k2 - 16k -

3m2 -- 8m - 3 - 0

flthys fig.be the roots of equatian (2).

The coordinates of the centre is (-2, 0);

r =

5

| 3(-2)+4(0)19)

5

c. The required equation Is (x + 2}z.+.yz = 25. 14. Sub. (1,1) into x* + y* = 2

L.H,S. 12. 122 R.H.S,

Sub. (1, 1) into x + y2-6x-6y+ 10 = 0 L+H.S.=121 - 6(1) - 6(1) + 10 = 0 Point(1, 1) lies on these two circles.. The equation of tangent to the circle x2 + is x(1) + y{1} = 2

x+y=0

The equation of tangent to the circle x2 + y2 at paint 11, 1) is

(Ans.

2 at point(1, 1)-

1{x} + (9)(4) - 3(x + y) - 3(y + 1} + 10 = 0 x + y + 3x' - 3 3y + 6 + 10 = 0

x + y = 2

6x6y10.

The two circles have the same tangent at point (1,1); ''. They touch each other at point (1,1}. (Proved)

5. Let the equation of tangent be y - 4 m(x+4)

y = mx + 4m+4... (1)

Sub. (1) into x* + yz - 6x - 6y - 7 = 0

x2 + (mx + 4m+4)- 6x-6(mx + 4m+4)-70 (m2 + 1)x2 + 2(4m2+m-3)x+(16m2 + 8m - 15) 0 & = {4m2 + m * 3}* - (m2 + 1)(16m2 + Bm-15) = 0

12m2+7m 12 = 0

(4m 3) (3m + 4) = 0

3

or

=

4

y - 4

or

(Ans)

The equation are y4 = (x + 4)

28 = 0, 4x+3y醬.40

6. Since the circletouches the x-axis at:{3, 0}, Its centre is (3, r), radius - E

3x=

Sub, x

X, 2 2 in L:4+ y 6y. +5 6y + y (y -3)= 0 y=3

0

{Anse)

coordinates of P is (2, 3), (Ans.)

(b) The equation of tangent .is x = 2.

| 8. (a) Let the equation of tangent through the origin be y = Kx..

Sub, y Kx in. C

(x-2)2 + (Kx - 2)2 = 2

(1 + K2)x2 - 4(1 + x)x + 6 = 0

A = 16(1 + K)2 - 4(6)(1 + K* =D

From f(x

K2 - 4K + 1 = 0

K = 2+3

{(x − 2)2 + (y = 2)2 = 2

=2±√3x

+

T1 (2-13√3) 12 (23-53

(b) Equation of Tine TT2:

x + y. - 3 = 0

x + mx - 3·0

=

Coordinates of K is (33). (Anson)

(c) ta =

.2(1 + m)

t3

3√1+ m2

Let the coordinates of M, N be (x,... respectively

Sub.y = mx into c

(1 + m2x2-4(1 + m)x + 5 = 0

1, X2 are the roots

=

4(1 + m),

+ m2

: xq x 2 + 1 + m2

2(1 + m)

3√1 + m2

(Proved)

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product of two roots maging =

The two tangents are perpendicular to each other.

(Proved

The distance from 48, r) to the line

4(3) - 3(r) + 12 - [r] 3y+120 is

ㄓˋ

J43+

2. The required circle be:

24 - 31:

{x2 + y2+ 2x + 4y + 1) + k(2x + y + 4) = 0

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