十八國民華中
育教・日十初月九年未辛夏
郭日憍等
12(k + 1)(k + 2) (3k2 + 13k + 12)
(ii) 23
1992 中學會考預習專欄
明德出版社
MILL & DALE PRESS
positive integers n.
TH(k + 1}{k + 2){k + 3)(3* + 4}
(k+1){{k + 1} + 1]['k + 1} + 2][3(k + 1} + 1] P(k + 1) is also true.
By the principle of mathematical induction. P(n) is
四期星日七十月十(一九九一年十八國民華中(18)
= p2 - 2p2 -p2 is a multiple of p2.
g= = (a + p}{a? - aa + p2)
= (-p}{-p2 - p*)
= 2p* is muitiple of p3.
(b)(i).ak+1)
k-1
ok = 1 (a2 + pa + p2).
is true for all
(Proved)
0
12. When n = 1
(0) (since a is a root of x2 + px
2k+1. (ii)From {b}{i} ¿"
p2 = 0)
"Additional Mathematics (2)
W.S. SO
33 - 1 = 26 is divisible by 13, Assume it is true for n = k
→3k
it is true for in = 12.
K
_k+1
'plak
(k+1
_k+1
+pg" +
=.0 + 0
0
SECTION A
1. Prove by mathematical induction that:
33(k +: 1)
- 1 =
+3
1
(c) When n = 1,
» + p = p
142 + 22 • 3 + 3 · 4+... + n*{n + 1) = fzn(n+1]{n+2}(3n+1)
for all: positive Integers n..
2. Prove by mathematical induction. that a3m f is divisible by 13
for all positive integers n.
i.e. 3 - 1 - 13 mm is an integer. When n k+1
33K 3333-1 11. 1.
33[331] + 27 – 1.
= 27(13m) + 26
13m is divisible by 13.
It is true for n k+ 1,
By the principle of mathematical induction
-1 is divisible by 13 for all positive integer t
for
33n
3. When n ́s 1. Lett.S.
= 1 = iT = R.H.S.
文員
舌英文科課 易殘人士柴
3. Prove by mathematical induction that
all positive integers n.
$5370 另 金醫療津貼
4. Prove by mathematical induction that
詩道15號
[email protected]" - 1g -
sin2hg.
for all positive integers n..
2sine
1.2 11 12 when_n_s k + 1
It is true of n = 1. Assume it is true for n = k.
1 1
+
10
{Proved)
ROPERFECT)
尋多名:
沙咀彌敦道:23-25 電3695663 譚小姐
(a) Show,
by mathematical
5. Prove by mathematical induction that. n+ > n(n+1) + 1 for
all: positive Integers n.
SECTION B
6. Let a,
學會
be the roots of quadratic equation x2 + px + p2 0
where p. is an integer.
(a): Show that
(i) -F is a multiple pe
(ti) + is a multiple of
(b){i} Find. the value of w
(ii) Hence show that
(ak + 1:.
k
*** *') + plak +62) + p2 (ak
= 0.
(c) Show by mathematical (nduction that for any positive integers.
na! +" is a multiple of p".:
n
induction
that,
propositions are true for all positive integers...
L.H.S. =
+
k+ 1
(i) 1+ 2 + 3 +
n= (n + 1)
汝師
(ii) 1{2}+ 2(3) + 3(4) +
n(n + 1) = f(n + 1){n + 2).
t
It is true for n = k + 1.
By the principle of M.I., it is true for all positive integers n. {proved)
...
14. When 1
the following
L.H.S. = case
sin2g. 2sing
R.H.S.. =
2singcosa
2sing
=cose
It is true for in = 1. Assume it is true for n= k.
inke
i.e. cos@cos20cos40
(b) Sq = 1
府津貼天 文科學位 繕履歷近 箱 1790
S2 = 1 + 2
When
k+
.....
= 1 + 2 + 3
1 + 2
3
1
+(n-1) -
2sin2k
2-2 sino
k+1sing
it is true. for n = 1.
k
from (a)(i) (a)(ii). it is true for y = 2,3 Assume it is true for n = k - 1 and n = ke
i.e.
·from (b)
ak-1 + pk-1
k++
k+1
K+1
-ap
k
= pk+1(-b-a): is a multiple of pk+1
It is true for n k+ 1.
By M.I., it is true for all positive integer.
7. (a) (1) Let P(n) be the statement "1 +2
when n = 1,
L.H.S. = 1
R.H.S. = (1 + 1) =
P1(n) is true.
Assume P(k) is true.jie.1+2+3
When n k+1
LiH'S='1+2+3+
+ k +(k+1}
(k + 1) + (k + 1)
(k + 1)(k = 2)
(Proved)
{Proved):
P, (k+1) is true.
By M.1. P. (n) is true for all positive integers, n.
(11) Let P2(n) be the statement.
1(2)
x
+ 2(3): + + + n{n + 1} = f(n + 1}{n + 2)".
When n = 1
L.H.S. (2) = 2
R_H.$. = (1 + 1)(1 +
P2(1) is true,
Assume Pa(k) is true.
1(2) + 2(3) +
When n k+1.
1(2) + 2(3) +
k(k+1)
+
+ k(k'+1) + '{k + 1](k + 2)
*(x + 1)(x + 2) + (k + 1}(k + 2}
{k:+ 1}{k + 2}{k +3}
+1)is true.
Pa(n) is true for all positive integers n..
(Proved).
(6) (1): 5,
益
(1+1) =
12:
S2 (3)
1)
= 1 + 2 + 3 +
(i) Find the sum: Sq +
+(n-1)'+n
*
(ii) If n is an even positive integer,
the sum 1(2k)+2{2k-1}+3(2k-2)+...
術員
請基督
SOLUTION
1. Let Pin) be the statement
技術員
6655980
12 +243 +
When.n="1.
L.H.S. = 1222
find
+ n2(n + 1) = zzn(n {fi+ 2}(3n+1)"
· R.H.S. = +2(1)(2)(3)(4). = 2;
P(1) is true..
Assume P(k) is true.
ire.
1*. 2 +
When_n = k + 1 .
HON
*k*{k + 1) = zzkk + 1}{k + 2}(3
L.H.S. = 12 + 2.3 + ... + k2(k + 1) + (k + 1)*(k)
It is true for n = k +1.
k+1. 2K+!sing
By M.I. it is true for all positive. integers n.
|5. When n = 1
L.H.S. = 27 = 4
R.H.S. = 11 + 1)+ 1 = 3;
.. it is true for n 1.
Assume it is true for n = k
1.e. 2k+1 - x(k + 1) -15 0 When n = k$ q
2(k+1} +1
(k
*
1}{k + 2}
zk+1 + 2k+1 _ klk + 1) - 1 - 2{k + 1}
[2k+1 + KEK + 1)
13 + 2 * --2(x + 1)
: [zk+1 - k(k+1)
-.13 + 2C2* - k - 13 > 0, zka (k + 1}
for k> {
lt is true for i = k +1
By M.I. it is true, for all positive integers .. }} g + 2 = −p, ** = p2
g2 = (+8)2 - 2 ap
(Proved)
JES
$2k
{1+1+1+...+1)+(2+2+...+Z } +
2k terms (2k-1) teras
- 2 [1(2) + 2(3) +
= f(n+1)(n+2}]
·Zn(n + 1)(n + 2)
(Ans.)
k terms
[«+{{2k~f)+(2k−131+2
2k+2¢2k+1}+3<Zk−2}+......... *k (kJ+6k−37¢®+?3++++ [2k−1 ) (23+2k
2[f(2k) + 2(2k 1) 4" + (k)(k}]
1(2k) + 2(2k - 1) + + k{k}
{{{2k)(2k+1}{2k+2}
k(k+1)0
- 12 (2k + 1)
(Ans.)
M
Thk{k + 1}{k + 2}{3k + 1) + (k + 1][{k + 2)
7ㄜ(k+1)(k + 2)[k{3k + 1} + 12{k + 1}]
高年級中
敎師有意 塘瑞寧街 學或電
中信投資公司「購收租舖 財團徵求
高價收購
不交吉樓舖交吉亦可 全幢或大量更佳 無需看樓
即日成交 港九均合
文文員
財團徵求
天祥 地產
估最
不交吉樓舖 交吉亦可 成全幢或大批更佳 無需看樓
價合成交 港九均合
快 盤付
番蓉查荷 昭榮投資公司
不交吉樓交吉亦可 全幢分層或一批樓 舖大小更佳即成交
7648712(##)
女文員一名
九龍上海街136號閣樓 7802293-4 九龍旺角上海街345號C地下 7709918 (假日照常)
中港投資公司
物業代
灣仔道旺舖租
|226 灣仔道地下,近 天樂里,酒店戲院舖 面閣 26 呎半交通便 地點旺,合陳列室等 §729012 業主陳先生
分類廣告:
3925946(專線)
7898928 (8)
.九龍旺角亞皆老街40-46 號利華大廈5字樓B室 彌敦道655號胡社生行2006室(濮營總行側
理
服務熱線 5462583
5464459
寫字樓平租
香港德道中12號遠
字
博覽旅遊
曼谷、七岩、屬榕淚假村、
有限公司
芭堤雅五天、六天、七天
10:00p.m.電.
妳九精尖沙咀星光行1428~1428室
7351861 7351031
HGM 學位 以能数中
【銅製值中心2107室(松座楼上) 8907133 旺角彌敦道536號銀行中心903-4擞 3325655 孶溜地鐵站衛业中心721案 4920248 4150806 寳塘地鐵耕站官塘廣場1樓137142
7973023
THIS WESTERanga857hQAND..
學爲合, 職。有意 你道東 281 合。請具學 電話。
*住兩晚布吉島加登晚P. P. 韪蟶新落成之
P. P. INTE ANATIONAL RESORT 酒店"
※曼谷住窿來登及最新落成之假日大酒店- * 天天出發,可延期返港。
「馬(横城、怡保、邦晓島)七天
「馬、星( 檳城、怡保、馬六甲)
、泰九天
酷点、魏魷
馬來西亞(檳城、浮羅交怡、吉隆坡) $3690起
·五天
於!排心轻!淨500元正 $4390 (No. 350090.曼谷、布吉島、PHD PHI灘島、
馬來西亞(檳城、怡保、邦晓路)六天$4690 逰堤雅五天、七天
$6690 起 本州五天、六天、七天 $4090超馬來西亞(沙巴)七天
$6990 曼谷、布吉島、芭堤雅五天,七天$4090起 馬(檳城、怡保)六天 $5210 九州東京迪士尼七天、八天 $8690起 中區皇后大道中8號萬年大厦1103室|京華酒樓樓上) 清灘、金三角、清蒸、曼谷五天、七天 $3890起 馬(檳城、浮羅交怡、吉隆坡)七天$5590 東北日光廸士尼六末、七天 $7790起 5217205 5268305
【馬(檳城、怡保、邦喀島、馬六甲)
東北、北海道迪士尼七天 $ 9590 七天
北海道東京六天、七天 $5590 韓國本州七天、八天
▶韓國溫陽四
、五宍
$4320
台北四天
$ 3040
「雪岳山、漢城五天
韓國濟州四天、五天
台北花蓮四天
$3140
【韓國慶州、釜山五天的地理鮊有限:
【韓國四天自由團(機票+酒店+早餐+接送)
全韓國、慶州、釜山、潞州)
台北花蓮高雄六天 台灣環島六天
$3980
$3980
五天、六天、七天
環島阿里山七天
$ 4450
$5590
$9290起
雪岳山(漢城、海州]六天
環島阿里山八天
$4920
$8590起
「馬、準(布吉島 )、星八天
$ 6270
韓國九州八天
$ 8790
*住華克山莊、樂天等大酒店。
韓國北海道六天
$7490
$ €650
承雿日離,早機去,晚機返。
【 *包著名之 HONEY BEE 歌舞表演。 |永小釐妆半價
* 進二、三、五、六、日出楚,可延期返港
※天天出發,回程可停東京,大台北
馬、星、泰
泰國、印尼
菲律賓、印度
中國
馬來西亞、沙巴 五、七天豪華團 沙撈越、古晋、達遡
準
布吉、PP島
$4,990
五營
$4,090
馬尼拉、碧桃源(蘇碧灣) 五天豪華團
$4,790
C.M.)
文憑代課教
浮羅交怡、檳城
五天豪華團
$4,300
沙撈越、沙巴
月至十一月
六天豪華團 馬星七天超級 │華
$3,000起 布吉島、曼谷、芭堤雅 七 華團 $4,700 七岩、糖、曼谷、芭堤雅 七天臺東華堂 清逖、曼谷、芭堤雅 80,500
曼谷、芭堤雞(飂榴) 五、七天豪華團
$4,200
$3,250 馬尼拉、宿霧(碧桃灣) 五、七天豪華團 $3,790 【非泰七天豪華團
印度古城黄金
北京(天津)六天豪華 $4,890起 直航團 北京,北戴河,山海關 (內蒙)七天遊 $5,490
桂林五天藜準
$ 438 起
$4,390
直航團
$2,000 z
海南島五天𨨏華 直航團
之旅六天
$8,890
華東七天豪華
七天豪華團 $4,590
|南北印度八天
$9, B00
直航團
$2,200
$4,790
清遠、小三峽 錦繡中華三天團$618 起
榮慶、腰子、
$5,500
印尼峇里島、日惹、椰加達 七天鐵華團 ~ $6,490
「凌海岩三天 $ 698
潮州、汕頭、玄武山
印度古城、碧浙達游
昆明五天滋
直航遡
$3,390
惠州五天團 $1,088
15 容小姐
| 馬星泰九、十天
印尼爪哇岛九天
黃金之旅九天
之
│
$6,600*2
讚幽遊
$7,290
西安、鄭州、洛陽 八天球華面航團
南昆山、從化溫泉、
$4,300
廣州三天團 $678起
:42 0111
∗獨家住宿韓國最著名之“整谷”溫泉大酒店” 多場:(一)秀姑巒溪(二)台(三)楓港
1*天天出發,回程可停台北,不另收變。
省內短綫
中山、珠海(順德) 「二、三天團 $438 起 |深圳、小人國 「二天團
澳門旅遊及其他服務
| 澳門酒店十船票
每位460起
代訂澳門凱悅,文離東方、總激光、
麻部、能地群、環球酒店 請查詢:736 911¥
代訂世界與靜機褓及酒店,
查詢:735 0333
獨立包團,講迤詢:735 484
(四)木粉動物運(五)孔(六)九族文化村
*台北住最高躺之統一大麵店
*獨家安排古烤肉
天天出發(回程可停留台北) 台狸收100元
星晨旅遊
MorningSter
*236 0368 (91)
→ APA SALASANAGAN TARKI1791–Fİ
$21616) (91)
36 481613 4155473(6)
2,04 € 636 € 49 £1704~5 KES 8.
332 0955(660)
07233(548)
385 4431 (40)
• et av de fugMF19M 341 2001 (ART
→ F G
3-26 £%£ 1% 65 21203 39122
tid :73503334614)+524 30087484
鲺情村流公诩点解锎公
牌照編號 3500
No comments yet.
Private notes are available after approval.