其二弟張四第
B一月六年午丙胺夏
香港教師會與私校協進會合辦
現代數學講座 杜定要講師主講
嬌仲強 伍岳峯 命題代數 (Algebra of Proposition)
筆記
WAH KIU YAT PO
§5邏輯等價(Logical Equuvalent)相应於普通代數中的 “等於(二) 在命題代數中有邏輯等慣,記為“=”我 ̇們說两佪函數f(xyg zxgz......)相等就是 表示函數值f(x,yo... - ) = 9 (xx, Yo, 32 · · · ) # * 1 *
g 的函数组 xo和 都成立,此事的成立可表現於两 函數的函数表相同,所謂两日布肃函數P.Cpg Q(pg 2- )邏輯等價是指布爾函數 PCP82) 的真值表兴布霸函數(p.82 )的真值表相同在這 **** 324 P( p q r ---- ') = Q( p q 4,-).
故此要证明两個布爾函數等,只要指出它們有相同的真 值表即可。
(例)証明~pVy與~(f^~z)等價
(4a) pv (g^^) = ( þ v g) ^ ( † vrs
(4b) p^(qv) = ($^8) v. (par)
(5:a)pVJ≡(子真假的固定命題) (5.8) pht=p (T笃真的固定命題) [6.a) pvt = t
180) ~(~~)=†
日期
(9a) ~~~($vg)=(~p)^(~g) (9b) ~[p^g)=(~p}v (~g), 在上列各公式中,下8入是代表一般的命题就是代表 一個真值為真的给出命题f是代表一個真值為假的给 出命題(90)和(98)是著名的德摩根定律(De Morgan's Law)非常有用,兹証明如下:
(9 a)
~(pVq)=(~)A(~g) 由下面两佪真值表
· p q px q~(+v9)
48~~~~
TIT
T
F
TIF
TIT F F F TIF F T
FT
T
F
(正)作真值表!!
F
T
1g~~V是
TFT
F
T
T T
F
T
F
F
F
T
F
顯見~PVkg真值表與~(PA~g)之真值表完全相同;
* ~pvq = ~(p^~g)
[(例二)我們曾規定. 子文真值表鸢
可見(9.a)成立,又在(9.2)中以
[(~)v(~] ~(~p) N~(~g) 根據(82) 此即~[(~p)veng)] pag 故
[~(~p v~g)] = ~ 再由(8.0)及等價之對稍性即可得~
~ (p^q) = (~p) v (~8), 此則(98)之公式也兹再举例如下 (例)証明q=(~)→(~b)
(png)
(3a 311}))
(84)
T
每奥例一的西伯真值表比較,可知
p→q=~pvq & p→g= ~(ping;
(注意)我們曾規定~pvg作為p→g之定義:
(例三)註明 (1) 结合律 (png)^~=p^(g入人)
(2) Jax # bv (9^^) == († V q}^{ pvn)
8) ^r þ ^ (8 ^ ^) T T T T
(証)作真值表:安心(手
I
T
vpvq=gv (~p)
qv (p)=~(~g) V (~p)'
(已註明)
可以: p→q= (~g)→ (~ b)
(g)v(~)=(~)→(~)(已証明)
(等慣之可移性
由以上的两証明法,可見由一些已証明的公式出發,可推 証其他的等價公式,而不必要再作繁琐的真值表
§6 恒真命題(Teuto longies)典盾命题(Contradiction)
定義:若對於任何一组簡單命題机器人
一命題
PCPPM)都取其的真值,时布尔函數精亏 恒真命題,通常用T($84,---)或7代表之
『 断一個布尔函數為恒真命题,可後這布尔正数的 表的最後一行,是否全行都取丁為真便可知
T
T
步驟!2
由表中步骤“3”的两项真值完全相同,可知(PAg)AL典
p^(q^r) A talaba J h = (p^q)^2 = bu(gar) (2)作真值表、
T
如
$)是恒真的
(行,可見pv(~)是恒
A Toutology
仁慈“香港是一個商業城市,則(~)為“香港
“不是一個商業城市”因而VC们就代表一個命題為
“香港是一個商業城市或香港不是一個商業城市“這句 - 題是真的命題
HONO
(vi) = £# (Law of Syllogism)
(解)由耳體束
Aqr(→ 8) ^ (
(十→z)是恒真的
及
T
T
馬聚
8日七月八年六六九一層公年五十足中国
協聰
X
的野
吸數
起
的
把成
鐵
些
明
果
定
段、和學生家長所組織,將來所得的研究中暴的時侯,好幾次藥不多由炭互提出, CHILDREN OF
誑:开季試不及格,改師們對佔不謝! 羅騰得他是個願胡學生,然而流括是名 一一,心理學東白登上人(MRS• B 傑易開除厚生)。後來由一位教育心理蹲,就」的試驗,一直寫畫,一天或两天的下 RANCH)竄段,希望聯會成立之後,
土八SIR RICHARDSON,在招待記者, 教檢查,證明他有驚人的智力,满孔科準午,增加一些特别墨科,其中包括遷触手 調查,紀錄他們的評力数字(Iape) 已經繪製多像太空船模型。後來运到一間,再進行另一項生——需要按步就班的進行,假若沒有載,巡迴各學校去,學生參觀與實際學習 校長見他亦蝕痛(英兩繼行强迫教育,不█·敦府學院,營提集群一項教仔「聰穎兒一生,捧爲三千五百名: 就在學校的學習書況,所得資料,提供 激極服暴的啟蒙,成還獲獎別人。另一位是英國作一的「瑞典央酬兒國兒度學校石的朗強風良好後回報就畫區生,就在一段裔單使用技術。該公司發言人稱,會員子弟獎助學金 正在牛津大學館有獎學金的戰學系學生,」(SCHOOL FOR HALADJUSTED是一件令人想要的事,每年能雄站收學生,他們只從教育性方面境額,可說是一出錢 首先後會員的子弟中,作一全面性的實際
高明同鄉會續舉辦 天才,喜歡洛商於空間想念,年紀小小,。據說,試的結果,獲格不少成功精彩時段,坦頓工作—打4年漫歌二千名醫學,最近被道一部價値二萬多的流動機 甚至不負實任,這是「天才」被壓抑的反「在煮的雜告。他提出,蟻證些聽明學生的南部一萬七千多,蘇格闊戲值,是九千太用 辦法:[]另加模女察察成外域杯图一百多人一位醫生。當然在某些大城市赛, 那一州的夜出活 (BRENTWOO大學醫學系,從每年收塔二千五百醫學 醫學栉重的醫鬲致脊柱主席李察部件 白登士族人還出两個例子,一個)應學習服舊道產生分丽,他們的普度,在建的總加和目前一些地方醫生不足,加上「寬臀改創三年,在新, 中 學學生,他們在一位車家突韾士(L鷄 於別方面發展,挺震「反」「情」,「有統計數字,將來的戲奎拈果,定是素人)欄北部,平均三萬九千多人,一位醫生; 对近的無料课學,希望本牛就說由學校已对致育部申請批准為到可「教」 易乏味,不體合他們的贾越,「智力」用「力素起的學生,具有「天才響力」,還是地方人口數目的比率,透是很不現想。英一按,「原砲科學放學計劃一断奠正道行構,生學警之用。學校租用,卅五發半天,預 以發筆他們的脊力了(二)把他們集中- 醫生與人口的比率是很高的。然而應付人,正式成為生冊醫生時,應該從現在的一年
WESTMINSTER 機的,是体上做詩, .伊亚ELLIOTT',目中摄融公司
部分幣生到海外工作,優事聯會,要求政一年正式實質,
S u挩導下,很快獲得一個明的觀念。有 商品,將來在肶會工作,可得更多利益 流動電算機供學生研習 營紅記載糖,真可獲得基門類成的機會 繼叉熙議!全科醫生的肌倈,在來;第一批初次洛阳和事習運用本镇元集 「鐵,比成年人爲迅速,學生於將外課程, 魯土以為年青學生學習讀伊概算使用技
報告,實有相當價值。觀聯會不單調查」,邀他到。而亞實」學校唸響,他的父親ENCE)是在握之察,他
申新期限至十六日止
村
浩音睨問會含有
英國一週文教動態
本報特約駐英通訊員:何炳輝
輔導聰明學生與
許多教育家同意,不少天才兒戲,在「才」學生的方法 「天才」怠童學習情况,同時研究輔導「天
是一位大學發,林他找到一間注貫個膈,ED HILL SCHC),而一條數目鉅大的資金槽要的,,英國液少要二萬五千漪名電算德江在
的,多生在
指導與「發揚」欠之的學校受狄育一批!,然而經常收到不少入中南書,全國之功,對基一點,
協助天才兒童龔葉家們個問:雙方古高的是驚,
MIELFIELD), 在「夜鄉石 摩根JC | CSOMERSET)州赛。 選學校以致
多,學生少見前,收費奇站。一生,然予過出的天才凫直没特别属时基生就應田,家學院,一定區亞設在大學數,不能
·據說,英國奧賽事站說有特別學校收數名, 全部可堆收二百名,李傅士推 打造 只雄一要由「校外觀環境構」(E
這景娩動定宾说,裝置在一中型汽車念亦然,申请期限至八月十六日,井后人
·佛」億利拍導師「學」之用。該公司 金頒獎典 |上,設計成一小森堂的機子,內有各種的月廿一日下午一降,在談會所製行獎助擊
耢..
琈成疫照而出,預料日後成爲數惠
XTRA MURAL ORGANIZATION)
守查生 投入
的的的動
興史
台與拒助會及
八「公佈成立,引起許多教育界人士的注意,就出,有時把他們的智力,從別的一方一一部分;其他的一部分「天才」,很可雅·· 導魚門學生發證卻要,和協助天才兒童解的功還,進步緩慢,不適合他們的興逝, 成擴很好,但他們的「趙人哭才」用來康 才學生,及時獲得協助。雖然目前沒有統 |E ASSOEIATION FOR GIPTED C 規例的學生,有時更被認爲「頭皮」和「生,他們能够「我自約束」,這多數得力 獲得精彩,很快,基 台風是大家所熟知的問題,然而就明畢生米,所說的「問題學生」,其中有些是「天才說,他們Î定有坐高成就的。另一類中,家雕術治(GEORGE ROBB¿說-過 LON· 掛機終告,並於英科層受物供更多,-
。 HILDUEN)最近正式註冊成立,以號「俄情一學生。究其原因,極可能是學校獎 於良好的家庭教育。不用說,他們的學察。肖登士夫人張聯;河两位是幸運的天 英國需要訓練更多醫生 | 詹家成激師所歪品,因爲他們不是屬於爲人們所忽視的。她指出!「天才」解特 英國的「天才兒童協導聯會」(TH:「動力」的一類學生,又不一定嚴守案,大類成分含所類,一類是令人靠的 人煩惱的學生,通常給人的印象,西去,大家都襯洎方面的教育問題,學業, 醫生,其取自應是每年增加一千各 |袂[闲椰] {虢2下文)爲目的。該聯會的從沒有興趣續剛露不喜漸學習,硯變成絲,付「普通」的功課,只烧用「智力」的数字,相信米被發現而港地说的爲數不,EDICAE ASSOCIATION)日前向度 THAMPTON)「基理」(KEEEE) 栖的發展,實是一日千里,它將是一切目 「離湛業後學生,協助低能見章」,發洩,如從善教師,F馱同學等。通常,沒有適當的發揮,假不能够給予良好的引(芬诺斯LESSEX)州的教育心理塞,MISSION ON MEDIOL EDUCA T,劍橋的緊耳熟,杨傳完藥,可以迅速擴—十年或十五年後——普通的感育,亦 像醫學教育委員會(THE ROND COM|大型RMS (IDLES 大星設立聚茶區,則根器的亞的,將來進入直如戲法化時間 倘有敎育消息刊在 敬告警又发出-華校 满的理科牒程, 不可分離的一部分。「伊姆洛」公司特別
◎ 能發揮神怒和創造能力;天才览澄走何歧 ]皃究。
除的斑問變愛,何為人們所忽略,有識之
YEDGE (THE BRITISH M ZEGOEN (SONREGOHNSTON-
可低
部分算十
這個「天才見為接滋勒茲」拘辦入之,從而創皮」,這可能是姊核雄的功界,图」之中,大約共有百分之一塊百分之二十智,,銀告所長,為重機發生的分布情况疑,死暴生從來碼斯科的愛,沒有良好第一商助影风呈雄的流動,
者留意
類定會機
由西真值
一行之真值完全相同,可見p Vign)典 (v). (PV)有相同的真值表故
^^) = (pvq)^(pv^)
Q.E.P.
我們应注意 P(pg~)≡o(pg~---)並不表示一 複合命题,而是表示“命題函數(丑x) P(rgrm---- 央 命題函數 0 (794,----)之間的一種問係,這佪関係 符合下列三個規律:(
(1)反律: PU
(2)过精祥 如果
(3)可移律八如果
數是一種定義本
开组成的集上
敦,它的值域是所有命题的集 布爾 MATA [0, 1) = ( {T.F) =] 314 10,1) of {TF}上]之函數,我們可将T和1, F和0同一起来,并将 命題中之变量之固定命題以其真值替代,則命題 函數警布爾函數存在有一一站在問係
由两伯布尔玉数等慣 則其两真值表相同這相性質即可 推断上面三個規律是对的下面是一些基本的常用的等
係的公式 用真值表即可証明 | u) pvþ三
☆價
(16) 4八三力
故此律是恒真的
(2)
-(p^~p)
由第四步骤开得的一行真值. 下列各布尔函數,都是恒真的
(3).(png) → f
(5) { (+ →8)^(q7>^)] ((中) → (cpvg)
恒真命题的替代原則
定理:若P(p.qh----)是一恒真命題,則PC PP?
仍是一恒真命題
者第
留三有
第育
頁息
請刊
(由因為P(pg2,......)的真值是决定於pg.........好取 讀在
的真值,而不须依赖於中, 8.儿,一 - 所代表之事宴,又 P(P, P., P., -^ -^) $ž k ž☀ P. 1. ---- 65 11 11
(例)求证[(巾→ A) ∧ (q → s)] → (p→2)是一恒真命题
(証)同人g→中是一恒真命題,故以(→)代中
以 (q→s)代g,即可得
[(p¬¿) ^ ( 8 → s)] →→→ († →→→^) 3–4 1421 矛盾命题
定弟;若对於任何一组簡單命題, g. 2.......,命题
P (Pogo,A)都有假的真值則布尔函數
PC+ g,N,----)稍為矛盾命題(Contradition) 通常用7 (p.9, A.,---)或夕記矛盾命題
判断一個布尔函数是否為-矛盾命題可從這布尔正數 的真值表的最後一行是否全行都取F為真值得知
顯然矛盾命题典恒真 命题互為不足的命題
有。經子
·能跨服务儿巨女
在八學合装學而
例),“人一个是一矛盾命題
由真值去
(例面)
由真值表
T
【可見上三 ~小心点
F
F
3
(DA (3)
F
FIF
F
T
T
J2Xpvq <<>(~p) ^ (^g) £ − F fb G £4
F
*=1) P (P. P.. P,, - -- ) = p 6; P, P, P, 是代表各種的 布尔函数,典P(p.9,七)式中的pig...是代表各種 簡單命題,迥然不同正 在普通代數中,有恒等式
x+y) (x^y)=xy式半xy為長數,此式亦可衍香蕉 (aina + log a ) ( inė - Liga);
sino (loga)
[(p+q}+(n_5)] [ (p+8 ) + ( A − s)] = ( p + q) = (r− s)^_~ { – } }
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