1966-03-02 — Page 15

十月二年午兩廳

華僑教育

中考試題預習專欄

徭仲強。

•

數學科

(九)

「模擬會攷試題解答

1.(2)在等边三角形内一桌,至任二項奌之距離之和,大於此奌至第三捐 奌之距離

(已知)D為等边三角形ABC内任意奌.

(求证)DB+DCSDA

(託明)1.以AD篤边作等边三角形ADE

@J_<l+<2=66",

21+23=60*

(等边三角形,每一内角為600)

B/

2. <2=23 (等量相減)联CE,則因

3.AC= AB,AE=AD (△ABC, △ADE均為等边三角形)

U. A ACER PABD TB (s. a. s.)

5. BD=CE.(对应边)

6. 在ADCE中,DC+CE>DE(4两边和大於第三边)。

7. DC+DB>DA (∵ DE=DA,代换)

Q.E.D

(f)設三角形三边之長各為a.c.並設S=(a+b+c),求其

对A角之旁切园在三边上之切奌分三边开成备线之長

(已知)ISAABCA角之事切园,在BC上切点

為D; 在AB,AC延线上切奌各為E,F

并設 BC=a, CA=b, AB=c, s=b(a+b+c)

(求) BD, CD,AE, AF等线段之長

(解)由切线等長定理,得

AE=AF BD=BE, CD=CF,

故 AE=AB+BE= AB+BD

AF = AC+ CF=AC+CD

相加得 AE+AF=AB+AC+8D+CD

代换

=AB+AC+BC

2AE= a+b+c= 25.

·· AE = S. (—AF)

B

9BDE BE AE-AB=S-C, 同理可得 CD=5-6.

答:

• AE=AF=S BD = S_C_CD= s-f

2.(a)求作一园,切一定园,並切一定直线於一已知点,

(已知)0园,直线AB及其上C (求作)一国典口园相切,且典AB切於C奌.

(解)遇C作品之垂线xY,則為典AB相切于C之国心之軌跡.

又設P為所求园之园心联OP,則

OP=0园半径+PC(外相切時).

故延長PC至D使CP=0园半径,則

OP= FD,故P奌0D两奌等距離

即P奌在OD之中要线上。

用軌跡交截法,可求得P矣,

(作法)JCAB 的垂线 XY

2.以為心,半夜之長萬

XYP.

出以P為心,PC笃半挂作图、

联OD,并仿照(3至14)方法

6.P.P两园均為开求

Q.E.F.

本题又可利用住似法,依下述手续作之。

(作法))過C作AB线XY

3.联 DC安0园於E.

4.联.0E並延長之交XY提供

5.以下為心, PC為半作园

6.依(3)至(5)方法

作园

7. P. Path✯.

(討論)1.如0园典AB相離

時,則本題可得一外切园及

“内切园,如图示

急如0國與A8相切時,A.

則本題只有一外如团.

3:如0园典AB相交時,則本題可得两外来

4.如0国典AB如于C奌時,本题解答無限。

(七)於△ABC之两边AB,AC上,各於形作正方形ABDE A ACFG.試

E BG ICE.

(已知) ABDE ACFG為

正方形

(*) BGLICE

近

BANK BAG==+30°

- LEAF =+90°,

(正方形各角為900) D

Aperte B A GemsdeEAF (##)

3. BA=EA, AG — AC(EIT{ ŠW)

4. ABAGO AEAF (s.a.5.)

B

6.联G則<34=45(正方形对角线未分類角》

22+24 + ZACG = 63+44 +45 90°(等量公理)

UCKY ≥180°(6A+24+<AC4)=90°(三角形内角和定理)

WAH KIUT PO

-BGICE(直角两边垂直1

3.(α) 18 2 sin20 = 3. Am 0 cos 0 + 2 core. (E↑ J# 360°E A) (解)移之真 2 sin18 – 3 sino col 8 – 2, and 36 — 0.

除以明白, 分解因式.

2 tans - 3 temo -2=0.

(towb-2) (2tanB+1)=0.

J

(4) * tano-2=0, 94 tano 2 M 0 = 63°26′ ✯' 243°26′

: 50=63°26′, 153°26' 243°26′ * 333°26′!

(6) 31 42 $✯ : (I+ xin@+ cos() == 2 (1+ sin 8) (1+ 801 5)

(~) L. H. S. = 1 + sin § + 60838 + 2amē+2018+2 aimê cor 0)

- 2† 248 + 2 cor 8 + 2 sinė cas §.

= (taine)*(三十Žcas台)

2 ( 14 ain 9) ( į+ cos() == R. H. S.

JQ.E.D.

4.設在ABCD中,AB=7.6. BC=7.4,CD=12.8, PA=11.6 ZAC=11.0 求BD之费

车):見如右图:在△ABC中,依 餘弦定律 C

7.6-4.11.07-7.4*. 227,6×11.0

-7.76+121-$4.76 ·

167.2

17.4

➡ 0.7350, £* ̧ 8=42°42′

又在AACD中,

cos &=

1366+12)= 163.8 *

255.2

68′55

0.3597. 查表得$=

A BAD, 8D2- AB+ AD2× AB× AD cơ (&+4)

-7.62+ 11.672x7.6x 156× coi 117° 37°

·57.764 134·6+2 × 7.6 × 11-64 = $7,76+134-6 + 64.96

·257,32

• BD=√367,32 −1604 (X)

5. (a) AB $17 — § C 1£„AB*+ 8C*- BAC

(解析)設AB=a;

AC版

Bc=(a+x)依題意待 22+(a-x2:

大号at_a Jaxt=3x

C (4-x)

x2+ax+(2)2 = a+(£), & (x+ZE a2+(#))

x=一隻+ 2+() 102+(4)可用畢氏定理作出

(作法)1.過日作BDAB BD AB

品,以口為心,口為半径作园......

3.联AD并延長之典D國安於ERE!

4.以A為园心,AE (AE)為狂作弧

AB (或BA延续)C(或c)

5. c桌(或c!)為吁求,

Q.E.F

主I, AC'= AB'-[号+10+(3]

故C為巧求文外分

2-C)亦為中末比之分类即 AB: AC=AC:BC.X

3. 此作法構為黄金分割法(Golden Division)為园内接]

十边形作图題文重要作图法

(8)設如右图:AE=BF. 文AC I. EG II FH.

試証EG+FHVAC

(見証如題)

(证明)1.取F及GH中奌M,N,联网时

則 MN=克(EG+FH),且 MNEG

(梯形中线,平科技两底,且等於两

E二月三年六六九一萨公年五十五國民業中

42am 104°13′

LZ in 75° 47"

AD=

又在 A ADB电

答:他

AB= AD sin 23° 19′ — 42 sin

= 101.9

101.8.(或103.9)呎 高

7. (a) =k x=rsino cos &, y=hsino sind. 3- A cas 0,

+

(明)将已知各式自凍後相機

X*+ y2+ 3* = Sain20 cos^p + 1 sin 8 alu2¢+¿acor29°

==¥aain#8 ( com*4+ sin24) +A2 costo!

"Q.E.D}"

(8)設△ABC中, a, boc表各边之一RA為外接团及内切 + Be 人口号: 其中ᅀ馬三角形面積5萬半周。

·园半径,試試 (任) 因

ac

Rm

4A

•

25

at

a&

+

Fasc + arc watc

Q. 2. D.

KA左或右式,

8.(2)三角形之底边BC位置大小一定,中线mg為定長,求顶奌A之

老缽

(已知) △ABC中,BC之位置大小一定

中线)=(定長).

(求作)頂奌A之軌跡

解析)設如右图:

△ABC:為適合條件之一個三角形,

B

即BD=mb,而D為AC中奌,延長CB至0桌便OB=BC. 貘 OA 則BD=A.OA=27.只因口為定点,故A之軌跡為一园 (哭一定桌距離等於定長之力奌之軌跡,為以定奌為因心定長馬

半时作之国)

(作洗)1.延長CB至0使B0=CB. 品以口萬心,之篱半律作园

3D园為 △ABC T夏桌A之乾跡,

(f) 諜两园內切,從其外公切线上任一奌.至此=各一割线则

截两国之四奌关园

(已知P两国内切拎A,BC為其外公切线.

(来者证) D, E, F, G四奌共园.

割线

CA*= CDCE

切线為割线及其國外线段之比例

DA2=CF.CG

CDICE=CF CG、(代换)

8.

同理

2 MNIIAC (陶料拎G

3. AE=BF (Bm)

註)本題亦可過資作EA平行线典AC TERME ACGKAHSP

3.

D, E, F, G

4. AM=BM(等量相加

5. N 為 BC中桌(過A一腰中奌,平行底边产线,求令他腰)

6.MN=-AC(ᅀ两腰中互联等於底边之半)

7. EG+FH = AC[=2MN](等童公理)

6.(a) 設△ABC中,Q=114, 8=137, 184.求备角, (28) S=2 (114+137+184)=217·5

S-a=103.5, s-b= 8015, $-c=33.5.

Q.E.D.

1.9.058

103.5 × 80.5×33-51

217-5

NO

103.5 80.5 33.5

-G.

2.0149

25322 log tan 2=7.53921.

35.82

35.82

"

4 = 19′′2

西 A 38°/2"

35.82

159

m B = 47° 58

30.5 Log tan

= 180°-(A+B)=93°50′-

=7.64831

1

答:A=38°12′; B=47058,C=93°50'1

1.5250 (+ 5.4457

217.5 2.3375 (- 3.1082(2

35.821.5541

35.8215541

108.5 2.0149_6

7.5392

-35.82 77.5541

80.51.9058 (-

7.6483.

(B)從42呎高天塔頂,測得另一塔之仰角為14013,若從此塔底

測之,則仰角為23 19.求他塔之高

(解)設如右图:AB表他塔之高,並设AB=x呎

DB=Y呎,則 第二00023019

同理

yx cot 23° 19'

Y = (x~42), cst 14°13'

x cot 23°19 = (x-42) cot 14°13'. =x cot 14:13'- 42 cot 1473

C

14°13'

42.

品内

(主)本題如用正弦定律解之,可用对数表

<DAB-14 13

= 90°-(90° 33°19′)-14′13′′.

23919-14°131=

在ACAD

•ain 104°13*

NO.

42

min 15.

A

1.6232;

E

(两直线相交,在其交奌同側各有两奌餐

直线上工奌至交奌距離之積,等於他直线上二奌至交奌距離之犢 則四奌共國)

Q.E.D.

主)此四奌共国足理,在比例部分,讀者宜注意及之......

「不必數學試卷預習試題(美術及代數)

na

1.(a) A、B两煤倉,共有煤1200噸,第一日由A倉取煤70噸達 B倉第二日由日倉取煤84噸選入A倉,第三日A倉賣出158噸8盒 賣出174噸,结果两忿而剩煤的噸數相等問两倉原有煤各多少? (七)借欵一宗,訂明以複利計算,一年一结,着两年後本利和811.2元 三年後本利和843.65元,求本金及年利率

2.(2)有長352呎之列車,以5秒鐘追過一個以每小時4哩速 率步行且方向相同之人,其後又以9秒鐘越過另一人,問第二人典” 列車同向抑反向?又該人之速度每畦关于哩?

(七)池底有管漏水,其漏水的速度一定使用人戽水入池,4時而满 備用10人3時西湖,現在要在之時戽滿,該用幾人?

3.(a)甲乙二人同東大車,共带行李600磅,按照規定,乘客可有免費額 逾限按码收費,現甲缴纳1元4角,乙纳4角,若此行李由一人携带則 应纳品元4角、開每人至多可带行李若干碍?又逾限行李每磚收費 若干?

(8)有一工程,預定35日完成。今以16人為之,每日工作6小時,20日根完 成工程之一,現欲依期完成,提令工人每日工作8小時。問尚須增 为干人?

4(a) % ax+by+cz=o, bx+cy+az=0,"cx+aq+b3=0.

**** x+4+3=0, £ a2+f2+c3 — 3abc.

(8) * x*+kx+mx+q* $$ Mk x*=*£*£*T*£**-2*

HP(調和級數)

解方程式:

120721

6.14

9.0081

+

3 day (==) == 1)

='古(x2-2x)的图解(取值由2至+2),並利用之以

提示:須取x=±0.8两值图线方準確

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負四第張四第

日一十月二年午丙夏服