三盟七第
日六十月六年午丙格重 香港教師會與校協會合辦
WAH KIU¬YAT PO... IN
五期基
日二十月八年六六九一周公年五十五國民嵌中
英中UF.1英文先修專欄,方問陶·
She had no place where shể night list head.
Leason 26
現代數學講座 鍾文學講師主講:
希望強
喬仲筆錄
·集論(det Theory)
Hinds of Clauses (4)
句的種類(四):
The hut where the accident occurred bye!
§1集的概念、符號及例
我們在數學中碰到的概念,常常是由另外的概念来定 義的.然而,這些另外的概念是又由第三者定義,如此類推。 例如在裁何學裡,“线段”被定義為”在两但已奌的中間全 部点的集合”這徊“线段”的概念是由“点”,“在----中間”集合” 等一系列的别的概念定義的马了定義什麼是“线段”上述 這些概念,必需被認為是已知的,不然的話,則不得不用新的 【概念重新定義它們;
【出描述或簡單的例二百根本就不去定義它們。
——而認定是普遍知道的。
必須從不加定義的概念開始,這是我們不易接受但应 該接受的基本概念否則“定義之系别”就永衰终止地下去。
在其論中,選擇“干”但概念作為基本的,然而它們的 1個數要尽量少,基本的概念是不加定義的,但是可以不同的
方法選擇它們
目前,在現代數學各個分支中均将“集”(et)當作原始 爱的,不加定義的數學基本概念,我們只去說明它
我們槓某些事物(抽象的或具体的)的全体美集其中 的事物称為這個集的元素(Element)
為了给出一徊集不拍是什麼樣的,必須有一種方式使我們 “確知那些是這個“集”的“元素”,那些不是這“集”的“元素”
例如說;直线的点的集,平面的真的集,自然數的集,有理 數的集,是數的集,複數的禁,一元几次方程式(以數為係數) 的根的集............等等可以說由平面再有直线组成的集由子 有典一已知球面相切的平面听组成的集--等等在後述這 此情形裡,又把集當作集的元素
每一事物只能是给定集的一個元素,也就是說:一個集合 中央有的元素,彼此都是不一樣的。例如我們不能把支和圣 看作是有理數集中两徊不同的元素
The word 'that' which whot, *whent
Omission of the Relative Pronoun or the Relative ad
The Relative Pronoun or the Relative Adve
is always used to introduce an Adjective Clause, *introducing an Adjective Clause, is sonetimes understoody Kand is omitted (有時間係代名詞及問係副詞常被省果,
where t
'which', who', ("thati
'when', 'why', ** 用作介绍形容詞子句之用 以下是例子。30
llowing are examples of their useA
wheret 常
The
(a) 'that' is used for things and people
The house that was situated in the wood helonged to Jane.
2. The boy that I mean is his brothe
3. This is the same lady that came yesterday.
(who' is used for people a
Examplees
1. These are the boys who work hard 2.1 knew the man who was hite uncle.
a. Naver argue with a man who is angry,
The Relative Pronoun who has three different
forms a
(1) Nominative Case (* *1⁄2 (2) Benitive Case(所有格)
who,
(3) Accusative Case (受格)
whom.
dxampless
通常以A,B,C,D或X,Y,Z等大楷字母代表集,而以a. led或xy.3等小楷字母代表“元素”
習慣上,代替“a是A的一個元素這句話,我們用下面的 邏輯符號表示: acAL (符号“飞”讀作属拎]
根據集的 的概念,是A的或不是A的一個元素,二者只居 第一
“A”是一個命題其否定形式記作 因此“as
QEA(或) a&A)
The hunter whom all knew was killed.
Examples:
1. 1. tell the
2. The time
Exercise 40
(when)
ory / I know. (that)
she was hurt should be known
The cat she had lost was mine.(which)
Make each of these pairs of simple sentences into Complex Sentence bu using one of the following words that, which, who, when, why, where.
(a) He had loet the book. Be bought at meaterday, (b) The man won the prize. He is your father. (e) She saw the man. He killed the dog.
(d) They lived in a house. It had a big garden.. (e) He is going to eing a song. (f) This is the woman.
He is called John. She lives with her daughter,
8) The pen wrote very well. He bought the pen last week. (h) The old man made friends with me, He lived in the house (1) I saw the pupils.
They were playing football.
3) She had a friend.
He was a thecher.
符号“石”或“”圴讀作“不属於”
Blk N$12 $1, $ JENSEN, 13 EN, 343,EN 數學上表示集的方法,有下列两種
1. She met an old woman who was hurt. The boy hose fither was sick a good students
(c) 'which is used for things and animals;
Kranylés: ”
1. The book which # told you is on the desk.
atruck by him. 2. This is the dog
3. The letter which you wrote was posted.
(d) 'when' is used for timer
Examples:
例如,我們用A= { a,b,c,d} 這種形式表示A為包含
(一)直接列出其内讶有的元素(如可能)
| . cd田相元素此外别买其他元素的集
又如: B={4.5~.*} 表示B是僅由元素41 ~ 册组成。
1. The time when she left,was unco
The hour when you come was about 2.00 p.m.
必須画别清楚 A={1,3,5,79} 和B= {1 357}是两個不to),wby' tm used for ressoc t 不同的集. 前者含有五個之十一点书//位大姐,
(二)描述集內的元素而具有的特性(在可能範圍內)當這種特性,
【被指出之後, 对任何元素,可以判断它是否属於巧给走的集這
【樣就把集確定了.
例如, Re={x:x為寔數且≥0},给出了由大於等拴零的
全体宴數开组成的集
例〔1]N={N: 扎是正整數}或等價於H={1.23.
[-2] S={x: 20-3x-2=0且2x=-1
[13] 設2, 6為两寔數且a<h考慮下列各集
(e.b)={x:^a<x<b}
(a,f] = {x: a<xsl}
[at]={x: a≤x<b}
[a]={x:‿a≤x≤b]
這裡用 (a, b) (a,b] [a,t)及[at]取代了大楷字母代表
的集的相应位置,完全無非是為3數學上的方便其理由是不, 言而喻的
§23集(dulet)典汎算(或完全算)
一,子集
定義2.11 两集 A典 B, A中所有的元素,均属长B则稱A
(为B的子集,記作 ACB. 或B⊃A
符号“C” 及“⊃" 分别讀作“包含於”及“包含”
例如,N骂自然数集E為寔数集,C弟旌数集
則
NCE REON
NCC GICONA
ECC À CɔE,
邏輯上,上述定可表達如下
ACBA AB⇔ (∀x) (x∈A==⇒MEB)" ACB之否定形式記作AB 或BDA.符号“4” 讀作“不包含於”或“不包含”
定義 2.2 两集 A典 B, 若AP好有的元素都属格ERB 中央有的元素都属於A,則稱 A晪日相等託作 A=B.
符号”: 和代數上的讀法一樣,讀作“等於
例如 A={1,2}/B=[xi_x=3x+2=0}
則A=B
邏輯上,A典 B 和等之定義可表達如F?
A=B⇔ (ACB) N(A>B)⇔(xEA⇒xEB)N(zeB⇒zEA) A=B之否定形式,記作A=B,符号“=”讀作,不等拔
「定理 2. 設 A,B 與C为任意集,则
(1) ACA
中(自友性)
(2)% ACB & BCA 41 A=B (& x148 ¢2)
(3) ACB, LBCC, & ACC (1+4)
(E)(I) xEA →xeA為恒真命题,由定美21和
That: ia the cause why I did 1出。
Answers to Exercise 38.
(a) because 'it saw the cat - Adverb Clause of Reason.
(b) When they arrived at the football flead
Clause of Time. (c) as Jane did - Adverb
I looked (a) Everywhere (e) When I was younger (f) Though I am poor
(g) if you return in time
Clause of Manner.
Adverb
Adverb Clause of Place. Adverb Clause of Time, Adverb Clause of Concession.
Adverb Clause of Condition.
(h) so he might finish the work Adverb Clause of
purpose.
(L) where ahe-waa Adverb Clause of Place
(j) while she is speaking - Adverb Clause of Tine,
Answers to Exercise 39
(a) which whe painted red (house), (b) that I naked for (everything), (c) that she sought (prize), (d) which ahe wante (Book), (e) who knew your eister (woman), (f) that was broken (cup), (g) that is silly (anything), (h) which was broken (dish) (1) who was your friend (girl), (3)
whose mother had left (baby)」
Exampless
I know the reson wh you left us.
(f) where is used for place
Examplest
第涓尙雞 四息有
【注鉄
尧牛士出售州集學理博會要物,既院學會浸港香 非學院香,京李學獲學杈,津學理
保校中任範鳴土西學學會地學,南陝面,生夠從國
【授教名知聘増
院層擴瑷和新一
張刊致
第在育他
1 (六)(xEA
A)
ACA.
呈交眠,
根據選輯代入公理 我們即行] ACA
(2) 由光石本身直接可得 A=B
(3) (KtA⇒ xEB) N (4B⇒xEC)⇒ (x&A⇒ xECY
退轉蕴涵傳遞法則)
可得&Acl
國鄉
「定義:23 两集 A B O ACB, A=B則稱AB之真子集 例如d={nin是正整跃,且是偶数}是 N={n: n是正整数
邏輯上A羊B之道⇔ (AcB)ACA=B)
我們知道,靠往往是由某些特定性質的元素组成的然而 时常我們给出一種性愛但是具有這樣性質的元素,一個也不 存在,例如當我們考慮端点重合這樣线段的内部的”美 组成的集時, 我們無法找到一奌是這相集的元素,同樣我們 會發現,地球上不受地心吸力的人的全部形成之集,它一元 素也没有,諸如此類不勝枚举
锐而言之,像上述所列举的空复集”和“坐人禁”根本就 没有点,而且也沒有這樣的人,這樣一来,我們很自然地或 確切地說,我們不得不引進“空集”(Empty det)這個 概念如同在美街中引進“零”的概念一樣, 定義24一個元素也不包含的集叫空集 邏輯上
(∀x)(xīA)
本蹇根形成的算是空集
則在今日部可拔焘
石爷學際設佈舍自港人
試
黜
今則,率5
日食一
·良輝九近來的
带牛餅
來中,從麵時排
★生亭
於今日下午三時铁放榜,全部及林各單本報將於明日刊出
C杓 據官方可靠消息稱,本年度中文中學會考,將
· 全部名單明利華僑日報
家長及考生留意!
·安年用瓦阵至六四點三,至於今年之成禮揭高腐是降低,
·點七,一九六三年周七六黏五丈。一九六四年六七點九歌,
.火格率在近年來則逐步降低,例如一九四二年及招津舞七六
歷年來,中文中學會考成旗均按英文中學薈港斜街,
參加本年度中女中學會考之學校共有七十九間,顧名安
香港浸會 班事由活元先生武器無先生刚产
定理之害其是任何集的子集
今日下午放榜 中文中學會考
(正)設A篤空集,B為任意集,如果能证明
(Vx) (xeA ⇒ x68) 為真確, 则足理成立 由通輯對比法則,我們知
(Vz) (xeA ⇒ x∈B) ⇒ (∀x)(x≥8 ⇒ xzA) 因为 A為空集,xEA是恒臭的,所以
(Vz) (xEB⇒ xZA)是一恒真命題, 即(dz) (KEA ⇒ x∈B)是一恒真命題。 因此
ACB.
定理 2-3 存在一個,而且只有一间空集 (註)关A,B同时是空集,则由足理之心我們有
ACB 1 BCA 根據定義:22 则直接可得
由於空集是唯一的為方便起見,我們今後约定用符号 未表示空集
直視上,空集能想像总没有装物体的空口袋,此外為了 典一般的集有的區別,我們這裡稍為提提“單元集這個機 念可以顧名思義,單元算是由而且僅由一個元事两组成的一個 其,這個其 和组成它的追旧元素要加以逗别,在目前這樣 集的“直觀模型“口袋中装有一個物体——是有用處的
我們可以這樣說集是被我們看作整体的多佃,建 但許多间”可以由一個物体组成,或甚至於一個元素也没有